Per poter determinare con
precisione la posizione e la velocità (e quindi l'energia) di un
corpo in movimento è necessario che noi non
modifichiamo con la nostra osservazione il fenomeno che vogliamo
studiare.
Capiamo meglio questo fatto.
C'è un camion che cammina ad
una certa velocità v su una autostrada. Che
posizione occupa ad un certo istante? Lo guardiamo in
quell'istante; passa esattamente con il suo muso davanti al
segnale di curva. Andiamo sul posto e diciamo; il camion,
all'istante voluto, era qui. Per essere più precisi potremmo fotografarlo:
avremo allora un'istantanea che ci mostra il camion nella
posizione che occupa proprio all'istante che volevamo.
E se a quell'istante il camion stesse transitando sotto un
tunnel dove non c'è possibilità né di vederlo né di
fotografarlo? Allora o non lo facciamo passare
attraverso il tunnel, facendolo deviare per un'altra strada, ma
questo modifica il fenomeno che stiamo osservando ed
un'istantanea sulla deviazione che ha preso il camion non ha
interesse, o diciamo che in quell'istante il camion si trova
sotto il tunnel, non possiamo dire con precisione dove, ma è
sicuramente confinato nel tunnel, o cerchiamo altre tecniche per
sapere dove è. Comunque, qualunque sia la tecnica da
noi usata per determinare la posizione del camion,
l'importante è che per fare questa misura noi non
modifichiamo le condizioni di moto del corpo ed, in particolare
la sua velocità e la sua direzione.
Supponiamo di voler
determinare la traiettoria e la velocità di una palla
all'interno di una stanza buia mediante una macchina fotografica
ed uno stroboscopio (un flash che può fornire lampi con precisi
e ridotti intervalli di tempo). Teniamo il diaframma e
l'obbiettivo della macchina completamente aperti: trovandoci al
buio la pellicola non si impressiona. Facciamo partire i lampi
dello stroboscopio
contemporaneamente al lancio della palla. Alla fine
dell'esperimento avremo una foto in cui la palla è ritratta in
diverse posizioni ad intervalli successivi:
E' facile allora vedere quale
è stata la traiettoria della palla.
Altrettanto facile è
calcolare la sua velocità per ogni piccolo tratto di
traiettoria: si conosce la distanza tra un punto ed
uno successivo occupati dalla palla nella foto, si conosce
l'intervallo di tempo intercorso tra due lampi successivi dello
stroboscopio, basta quindi applicare la relazione
v = s/t
ad ogni coppia di successive
posizioni della palla per conoscere le sue velocità media in
quei piccoli, successivi, tratti.
Facendo queste misure abbiamo
modificato la velocità e la traiettoria della palla?
Sento già un coro di no.
Invece abbiamo modificato e
traiettoria e velocità.
Di poco.
Ma le abbiamo modificate.
Ricordiamo che la luce è
composta da tanti e tanti fotoni a ciascuno dei quali compete
una energia E = hn . Se
abbiamo 1 miliardo di fotoni (109) tutti di frequenza
n avremo una energia totale E = 109
hn . Questi fotoni per
illuminare la palla la devono colpire fornendo dunque ad
essa la loro energia. La palla ha quindi acquistato una energia
E = 109 hn . L'acquisto di
questa energia ha in qualche modo modificato e la
posizione della palla nell'istante in cui viene fotografata e di
conseguenza, la traiettoria e, di conseguenza la sua
velocità. Rendiamoci conto di come questa modificazione ha
influito sulla nostra misura e per far questo troviamo l'ordine
di grandezza di E = 109 hn
. E' a questo punto che entra in gioco l'estrema piccolezza
della costante di Planck, h = 6,63.10-34 joule.s.
Facendo infatti il conto che ci interessa, si ha:
E= 109. 6,63.10-34
n Joule = 6.63.10-25n
Joule
Tenendo ora conto che la frequenza
dei fotoni della luce visibile è compresa tra 1014
e 1015 cicli al secondo (Hz) si ha che n ~ 5.1014 Hz e
allora:
E = 6.63.10-25.5.1014
Joule ~ 3.10-10 Joule = 3/1000 erg.
Affinché la palla rimanga
impressionata sulla lastra occorre che un certo
numero di fotoni la urti. E' evidente che con questi
urti i fotoni cedono la loro energia alla palla la
quale si ritroverà con il suo stato di moto modificato. Questa
modificazione è però tanto piccola rispetto alle dimensioni,
degli oggetti che stiamo studiando da non tenerne affatto conto:
l'energia dei fotoni rispetto a quella della palla è davvero
ben piccola cosa, totalmente trascurabile.
E' proprio il fatto che queste
due energie sono tanto diverse a far si che noi possiamo
agevolmente misurare, senza tener conto dei microscopici errori,
la posizione e la velocità della palla.
Nei ragionamenti che stiamo
sviluppando abbiamo implicitamente ammesso che per studiare una
qualche caratteristica di un certo oggetto dobbiamo
in qualche modo toccarlo, dobbiamo cioè in
qualche modo interagire con esso.
E questo fatto è abbastanza
chiaro anche se non evidente.
Per renderci conto del peso di
un oggetto dobbiamo pesarlo mettendolo quindi in relazione con
altri oggetti; per vedere qual è la lunghezza di un
tavolo dobbiamo sovrapporgli un metro; per calcolare
il livello dell'acqua in un serbatoio dobbiamo introdurvi
un'asta graduata; per camminare in una stanza buia dobbiamo
toccare per muoverci agevolmente; se la stanza non è buia
ci sembra però di poterci muovere senza modificare nulla, senza
toccare. Invece non è così. La funzione che svolgevano le nostre
mani, toccando per farci muovere, è ora svolta da altri oggetti.
Sono infatti i fotoni che toccano per noi gli oggetti
rendendoceli visibili.
Per studiare quindi,
nell'ipotesi minimale, la posizione di un determinato
oggetto occorre almeno vederlo. Per vederlo oc corre
che questo oggetto sia illuminato. Se illuminiamo l'oggetto
per studiarlo vuol dire che noi ci mettiamo in relazione con
esso mediante i fotoni. In ogni caso, misurare significa perturbare.
Ritorniamo alla nostra palla.
Noi l'abbiamo perturbata con energie piccole al
confronto con la sua. Ma cosa succedereb be se noi la
perturbassimo con un'energia dello stesso ordine di
grandezza? Avremmo un fotone grande come la palla che lo
colpisce. Potremo dire allora che la palla si trovava
lì al momento dell'urto con il fotone, ed infatti la lastra
fotografica ci darebbe
ragione. Ma, un istante dopo, la palla non è più lì avendo modificato
completamente la sua traiettoria e la sua velocità.
Senza fantasticare su fotoni
grandi come palle, cerchiamo palle piccole come fotoni,
scendiamo cioè nel campo delle grandezze atomiche e
prendiamo in considerazione un elettrone: vogliamo
studiare la sua posizione e la sua velocità.
Per far questo facciamo come
Heisenberg nel 1927: costruiamoci cioè un'esperienza ideale,
una esperienza
cioè in cui lo sperimentatore dispone di un laboratorio ideale
in cui egli possa costruire qualsiasi genere di strumento o
congegno purché la sua struttura ed il suo
funzionamento non contraddicano le leggi fondamentali della
fisica.
Vogliamo osservare la
traiettoria di un elettrone in movimento, lanciato da un
particolare meccanismo e soggetto alla forza di
gravità della Terra. .
L'attrezzatura per fare
l'esperienza è la seguente:
a) una camera dentro la quale è stata
aspirata completamente l'aria, fino all'ultima
molecola;
b) un cannoncino in grado di sparare
elettroni, uno alla volta, orizzontalmente e
sistemato su una parete della camera;
c) una sorgente luminosa capace di
emettere fotoni in numero variabile a piacere e di
qualsiasi frequenza;
d) un microscopio in grado di poter
osservare qualsiasi frequenza (perfino le lunghe onde radio
e i cortissimi raggi g).
L'attrezzatura di questa esperienza
ideale è ideale perché:
a) a tutt'oggi non si intravede la
minima possibilità di ottenere il vuoto assoluto;
b) non ci sono cannoncini che sparino
elettroni uno alla volta;
c) una tale sorgente luminosa non è
stata ancora realizzata;
d) un microscopio con tali
caratteristiche non esiste;
e con il supporre di avere questa
attrezzatura non si contraddice nessun principio
fondamentale della fisica.
Lo schema costruttivo
dell'esperienza è riportato nella figura seguente:
Cerchiamo di vedere e capire
cosa succede ad un elettrone quando, sparato dal
cannoncino, si pone in moto nella camera.
L'elettrone evidentemente è un
piccolo proiettile e, secondo quanto sappiamo di fisica
classica, la sua traiettoria dovrebbe essere un arco di parabola
come mostrato nella figura seguente
Allora vediamo se,
effettivamente, questo elettrone segue una
traiettoria parabolica. Abbiamo detto vediamo. Ma per vedere
occorre illuminare e per illuminare occorre che almeno un fotone
colpisca l'elettrone.
Qui non siamo come nel caso
della traiettoria di una palla. L'energia
dell'elettrone è molto minore di quella di una palla.
Quindi se un elettrone è colpito da un fotone, al contrario di
una palla colpita da uno o più fotoni, gli scambi di
energia sono del lo stesso ordine di grandezza ed
allora, dopo l'urto, l'elettrone avrà completamente
variato la sua traiettoria e la sua velocità.
Osservando con il nostro
microscopio l'elettrone, troveremo una traiettoria a zig-zag;
infatti per osservare l'elettrone per un certo tempo
saranno diversi i fotoni che colpiranno in tempi
successivi:
In
questo caso, ad ogni
istante, la posizione dell'elettrone è individuata esattamente,
ma la sua traiettoria è com pletamente
indeterminata.
Tenendo conto che non si può
disporre, ad esempio, di mezzo fotone, si potrebbe pensare
di diminuire l'energia del fotone che urta
l'elettrone in modo da perturbare il meno possibile
l'elettrone stesso.
Ricordando che la relazione
che ci da l'energia per un fotone è:
E = hn
per diminuire E si può agire sulla
frequenza n, si può cioè rendere
sempre più piccola la frequenza n .
Poiché frequenza e lunghezza
d'onda sono tra loro inversamente proporzionali, diminuire la
frequenza equivale ad aumentare la lunghezza d'onda:
Abbiamo quindi un fotone con energia
piccolissima, cioè un fotone che dispone di una
piccolissima frequenza, cioè un fotone che ha una
grande lunghezza d'onda.
Cerchiamo di capire ciò che
succede in questo caso.
Tutti noi, almeno una volta,
avremo osservato una specie di sparpagliamento
della luce quando viene fatta passare attraverso un
forellino sottilissimo. Questo sparpagliamento ha luogo
quando il diametro del forellino è dello stesso ordine di
grandezza della lunghezza d'onda della luce che lo
attraversa. Questo fenomeno è chiamato diffrazione della luce.
Ora si ha la diffrazione anche quando poniamo un
piccolissimo oggetto (il cui diametro sia dell'ordine
di grandezza della lunghezza d'onda della luce) davanti ad una
sorgente luminosa: su di uno schermo posto di fronte troveremo
non un ombra netta ma confusa.
Evidentemente questa diffrazione
sarà più evidente quanto più sarà grande la lunghezza d'onda
della luce rispetto alle dimensioni dell'oggetto interposto tra
sorgente luminosa e schermo (e viceversa).
L'immagine, quindi, di un oggetto puntiforme su di
uno schermo non sarà puntiforme ma sarà invece una piccola
macchia le cui dimensioni sono dell'ordine di
grandezza della lunghezza d'onda della luce usata.
Di conseguenza, dovendo
osservare un oggetto con un microscopio, noi potremo osservare
l'immagine di questo oggetto tanto più netta, e
quindi localizzata, quanto più useremo piccole lunghezze d'onda.
Viceversa avremo una immagine sfocata, cioè poco
precisa, cioè poco localizzata quando usiamo radiazione con grande
lunghezza d'onda. Osserviamo tra parentesi che non si è in
grado di osservare oggetti più piccoli della lunghezza d'onda
della luce usata . Torniamo allora al nostro fotone che deve
urtare l'elettrone che viaggia nella camera per
permetterci di vederlo.
Usando, come ci eravamo
proposti, un fotone di bassa energia per non perturbare la
traiettoria e la velocità dell'elettro ne che stiamo
osservando ci troviamo nella condizione in cui il
fotone ha una bassa frequenza e quindi una grande lunghezza
d'onda. Se dunque aumentiamo la lunghezza d'onda del fotone per
perturbare meno traiettoria e velocità dell'elettrone, troveremo
nel nostro microscopio delle immagini scadenti, cioè
una misura poco precisa della posizione
dell'elettrone.
Sfuggire da Scilla significa
incappare in Cariddi.
Quindi per un fotone che si
muove con una grande frequenza n,
cioè con una piccola lunghezza d'onda l,
avremo sul microscopio una immagine come quella in cui
l'elettone si vede come se avesse una traiettoria a zig zag.
Mano a mano che diminuiamo la frequenza, e quindi
aumentiamo la lunghezza d'onda, otterremo via via sul
nostro microscopio delle immagini come quel le
riportate nelle figure successivamente riportate:
Nell'ultima figura possiamo
intravedere una traiet toria anche se grossolanamente
approssimata. Non siamo in grado comunque di dare la
posizione dell'elettrone.
Allora: o si dà la posizione
dell'elettrone rimanendo completamente indeterminata
la sua traiettoria (figura con elettrone a zig zag), oppure
si dà la traiettoria rimanendo completamente indeterminata la
posizione (ultima figura). La penultima figura ci fornisce però
una via di mezzo: usando una frequenza intermedia si
avrà una traiettoria alterata solo parzialmente ed
anche la posizione si potrà stabilire con una piccola
incertezza. L'elettrone non avrà una linea ben definita
come traiettoria ma comunque resterà confinato entro una
striscia.
Questi ragionamenti furono
quelli che portarono Heisenberg al suo famoso
principio di indeterminazione (1927) che egli riuscì
a formulare anche con una relazione matematica.
Secondo il principio di
indeterminazione: è impossibile determinare con
esattezza e simultaneamente la posi zione e la velocità di
un elettrone ( e più in generale di una particella).
La forma matematica di queste
principio è molto semplice Se chiamiamo con x la
posizione dell'elettrone e quindi con Dx
l'indeterminazione sella posizione, da quanto abbiamo detto si
ricava che Dx è
dell'ordine di grandezza della lunghezza d'onda l del fotone, mentre, se
chiamiamo con q la quantità di moto dell'elettrone (q = mv
=> Dq = Dmv) e quindi con
Dq l'indeterminazione nella sua quantità di
moto, si può facilmente vedere che anche D
q dipende da l e maggiore è
l'energia trasportata dal fotone, maggiore è
l'energia che questo scambia con l'elettrone. Più precisamente
si avrà:
combinando queste due relazioni si
trova:
Con altre considerazioni, che ora non
ci interessano, la forma definitiva
del principio di indeterminazione risulta essere:
essendo h la costante di Planck ed m
la massa dell'elettrone.
Ritorniamo ora al camion che
avevamo incontrato qualche pagina indietro.
Applichiamogli il principio di indeterminazione e vediamo cosa
succede.
Supponiamo che il camion
abbia una massa m = 10.000 Kg ed una velocità v ~ 10
m/s. Supponiamo inoltre che l'indeterminazione sulla
velocità sia Dv = 1 m/s (il che
significa dire che la velocità del camion può variare del 10 %
intorno al valore, di 10 m/s, dato). Calcoliamoci
l'indeterminazione nella posizione del camion. Si ha:
essendo h la costante di Planck ed m
la massa dell'elettrone.
E' evidente che
l'indeterminazione nella posizione è tanto piccola (si ricordi
che le dimensioni atomiche sono dell'ordine di 10-10
m) da non poter essere in alcun modo presa in
considerazione.
Facciamo ora lo stesso conto
per un pallino di piombo da caccia di massa m = 1 mg
(=10-3g=10-6Kg) e con velocità
v ~ 100 m/s. Supponiamo che l'indeterminazione sulla velocità
sia Dv = 10 m/s (anche qui il 10%
della velocità v). Si trova:
Anche in questo caso quindi questa
indeterminazione è assolutamente ridicola ed al di fuori di
ogni portata valutativa (in nessun modo è possibile
rendersene conto).
Applichiamo infine il principio
di indeterminazione ad un elettrone di massa m =
9,1.10-31 Kg che si muove con una
velocità v ~ 2.000.000 m/s (= 2.106 m/s). Supponiamo che
l'indeterminazione nella velocità sia anche qui il 10% di v,
cioè Dv = 0,2.106
m/s. Per l'indeterminazione nella posizione (Dx)
si trova:
In questo caso, come si può ben
vedere, l'indeterminazione nella
posizione è dell'ordine di grandezza delle dimensioni atomiche
e non può quindi in nessun modo venire trascurata trattando questioni
atomiche. E' cioè impossibile dire dove si trova un elettrone
all'interno di un atomo. Non si può quindi descrivere l'orbita
di un elettrone all'interno di un atomo poiché la fascia
di indeterminazione si rivela, in questo caso, larga quanto la
distanza dell'orbita dal nucleo. Troviamo così che la meccanica
quantistica non ci fornisce alcuna informazione sulla
traiettoria seguita da un elettrone intorno al
nucleo. Non potremo più parlare di orbite percorse dagli
elettroni, che presuppongono sia
valori finiti e ben determinati della distanza dal nucleo sia
la conoscenza della posizione e della velocità dell'elettrone.
In luogo di queste orbite dovremo considerare un certo volume
(il cosiddetto orbitale atomico) entro cui e possibile o probabile
che l'elettrone si trovi.
Vari tipi di orbitali atomici
Precisando meglio quanto
abbiamo detto, studiamo un poco più dettagliatamente
il significato delle scoperte di Schrödinger ed
Heisenberg andando a vedere più da vicino la novità e le
successive applicazioni del nuovo modo di trattare i fenomeni
atomici.
In base all'equazione di
Schrödinger un elettrone in movimento può essere rappresentato
da un'onda che possiamo da ora chiamare funzione
d'onda ed indicare con la lettera greca
y (si legga psi).
Essendo
y la funzione d'onda ad essa sarà associato un
elettrone. .
Noi non siamo però in grado
di dire in quale punto dell'onda si trova quest'elettrone a
causa del principio d'indeterminazione di Heisenberg. Siamo però in grado di dare la probabilità di trovare
l'elettrone in un certo punto dell'onda y
(la quale onda, è meglio dirlo subito, non ha alcuna
esistenza materiale, ma rappresenta solo un mezzo analitico
per calcolare, appunto, la probabilità P di trovare l'elettrone
in un certo punto dell'onda stessa).
Siccome noi siamo certi che,
ad esempio, un atomo d'idrogeno ha un' elettrone intorno al suo
nucleo, la probabilità P di cui parlavamo ha un
significato fisico ben preciso, corrisponde ad un
qualcosa di reale, è un qualcosa di osservabile. D'altra
parte una probabilità è una grandezza positiva compresa fra zero
ed uno: il valore zero significa l'impossibilità, il valore uno
la certezza di un determinato evento.
La probabilità che un
elettrone si trovi in un punto qualunque nello spazio che
circonda un determinato nucleo deve essere uguale ad
uno (cioè, come abbiamo detto sempre positiva o al
massimo nulla). Poiché lo stato di .un sistema fisico deve
essere caratterizzato dalla sua funzione d'onda
y , anche la probabilità P dovrà
potersi costruire mediante la y .
Poiché P deve essere positiva
o al massimo nulla, l'unico modo di renderla tale ed
insieme per farla dipendere dalla y è
definire (Max Born, come del resto abbiamo già detto):
(leggi: psi modulo quadro)
infatti se y è una funzione reale
tale è y modulo quadro, risultando
> oppure = 0; se y è una
funzione complessa si ha:
(intendendo con
y* il complesso coniugato di y
e ricordando che il prodotto tra un numero complesso ed il suo
coniugato è un numero reale) e si ottiene che
y modulo quadro è ancora una funzione
reale sempre > oppure = 0.
Vediamo qualche esempio di
funzione y (in nero) con la
corrispondente y modulo quadro (in
rosso):
Vediamo ora come questa
funzione d'onda y e la probabilità
y modulo quadro di trovare un
elettrone in un certo spazio sono legate con gli orbitali
atomici. Ma prima di far questo ritengo necessaria una piccola
digressione. E' doveroso avvertire che l'introduzione della
y e del suo modulo quadro
(probabilità) dette adito ad una serie di discussioni a volte
drammatiche. Il culmine dello scontro si ebbe al Congresso
Solvay del 1927. Due fazioni si scontrarono: da una parte
quelli che poi risultarono vincitori, Born, Heisenberg, Dirac,
Pauli capitanati da Bohr (costoro vennero i» seguito indicati
come appartenenti al
la Scuola di Copenaghen); dall'altra, quelli che poi risultarono
sconfitti, Planck,
Einstein, Schrödinger, de Broglie. La tesi portata avanti dai seguaci di
Bohr era essenzialmente la seguente: la teoria quantistica è una
teoria completa
e definitiva, le sue ipotesi fondamentali non sono discutibili; le leggi
probabilistiche della fisica dei quanti sono un dato
definitivo della realtà; non c'è possibilità di affidarsi ad
alcun determinismo, la natura assume l'indeterminazione come un
dato fondamentale e di principio; occorre rinunciare al concetto
di causalità dei fenomeni atomici del tempo e dello
spazio; si estrapola il principio di indeterminazione
affermando che non solo non è possibile misurare
contemporaneamente posizione e velocità di una particella, ma
addirittura che una particella non ha né posizione né velocità,
con la conseguenza che, ancora una volta, la materia di nuovo
sparisce e con questa posizione, legittima ed apparentemente
innocua, si dà fiato a tutta la vecchia posizione
antimaterialista che, appena qualche anno dopo, vedrà Heisenberg,
lo scienziato nazista, affermare che l'atomo non è altro che un
sistema di equazioni differenziali e che, naturalmente, la
materia non esiste. Ma, a prescindere dalla posizione
radicale di Heisenberg rimane il fatto che la posizione
filosofica dei vincitori, che si può semplicemente definire
neopositivista, è ancora quella che oggi governa i
nostri istituti di ricerca. Porsi dei problemi, cercare di
capire, fa perdere tempo e non ci aiuta sulla strada del
consumismo scientifico e dell'efficientismo. Contro tutto questo
si battevano gli sconfitti, e non solo a parole ma anche con
tutta usa serie di teoremi, dimostrazioni e paradossi. Secondo
questi ultimi la fisica dei quanti è certamente una conquista
importante ma deve essere intesa come provvisoria: diamo tempo
alla ricerca e molte cose potranno essere intese in un modo
differente. E poi, entrando in un minimo di dettaglio, non è
affatto vero che la fisica dei quanti offre una descrizione
completa. Molte variabili le sfuggono, sono le variabili che
sono state definite nascoste. Vi è una enorme
bibliografia in proposito, per parte mia tengo solo a dire che
io descrivo gli sviluppi della fisica dei quanti così come si
sono susseguiti; in nessun modo sento di condividere
l'impostazione filosofica dei vincitori del Congresso Solvay.
Ritornando ora a quanto
lasciato, cominciamo con il dire che la funzione d'onda
y è anche definita orbitale atomico
di un elettrone in un atomo. C'è un altro modo però di intendere
la y . E' certamente un modo che
soddisfa di più la nostra abitudine a crearci modelli meccanici
della realtà fisica che non il rigore dell'esatta
interpretazione. Dobbiamo supporre di avere, anziché il vecchio
punto materiale che ci descrive l'elettrone in moto
con tutta la sua carica concentrata, una nuvola di carica, cioè
l'elettrone diffuso in un certo volume di spazio.
Questa nuvola di carica non avrà densità uniforme ma, in ogni
punto, la sua densità sarà proporzionale a
y modulo quadro . Dove la
y modulo quadro assume un grande
valore, lì si avrà una densità maggiore per la
nuvola, e lì si troverà concentrata la gran parte
della carica negativa propria dell'elettrone. La
differenza essenziale tra questo modo di vedere le cose e quello
precedente è che, invece di parlare di densità di probabilità,
si parla di densità materiale di particella.
Ritornando alla
rappresentazione dell'elettrone mediante la funzione d'onda va
detto che la y di un elettrone in un
atomo non ha confini definiti ma si estende a distanze molto
grandi (relativamente alle dimensioni atomiche) dal nucleo. Questo fatto
vuol dire che è possibile anche trovare l'elettrone
molto distante dal nucleo. Ma se tale distanza supera i 2 ÷ 3 Å,
la probabilità di trovare l'elettrone è molto piccola e poco
significativa.
Si può quindi dire che per
ogni funzione d'onda y vi è
un certo contorno, detto superficie limite, entro il quale si ha
una probabilità ben definita (dal 90 al 99 %) di trovare
l'elettrone.
Le cose che abbiamo dette
sono ancora abbastanza vaghe.
Per renderle più
concrete, per visualizzarle insomma, cerchiamo di
vedere come si può disegnare una funzione d'onda di un elettro
ne in un atomo, come si può disegnare cioè un orbitale atomico.
La rappresentazione grafica
della funzione d'onda (cioè di un orbitale atomico)
di un elettrone in un atomo si può realizzare in uno dei
seguenti modi:
1) Si può disegnare la
nuvola di carica (vedi fig. c)
2) Si può tracciare la
superficie limite dell'elettrone nello stato
stazionario permesso rappresentato dalla funzione
d'onda y (vedi fig. d)
3) Si possono calcolare le
curve in cui y modulo quadro è
costante e tracciarle (vedi fig. b).
4) Si possono tracciare i
grafici di y o di
y modulo quadro in funzione della
distanza r dal
nucleo (vedi fig. a).
Vediamo una
esemplificazione di quanto detto limitandoci ai casi
(a) e (c) di figura, poiché sono quelli che useremo spesso in
seguito.
Consideriamo un elettrone,
intorno ad un nucleo (ad esempio di idrogeno), nel più basso
livello energetico. In base alla rappresentazione mediante la
nuvola di carica (e come vedremo meglio nelle pagine seguenti)
l'elettrone può essere disegnato con la sua nuvola di
probabilità circondante il nucleo
:
La y
e la y modulo quadro sono legate a
questa rappresentazione in un modo molto semplice che
è reso ben evidente dalla figura seguente:
Osserviamo innanzitutto che
la figura è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate che
passa per il nucleo atomico; in pratica essa è simile ai grafici
di y e di y
modulo quadro con in più le sue speculari rispetto
all'asse delle ordinate. La figura rappresenta la
probabilità y modulo quadro ( di
trovare l'elettrone ad una data distanza R dal nucleo. Poiché
l'elettrone nell'atomo si trova, non su di un piano,
ma nello spazio circostante il nucleo, quest'ultimo è stato
preso come origine delle coordinate; e proprio per la simmetria
dell'intero sistema non ha senso considerare distanze R negative
a partire dal nucleo e quindi, in figura, non vi è un verso
negativo per l'asse delle ascisse ma solo versi positivi a
partire dal nucleo. Quest'ultima considerazione fa subito
capire che il modo più corretto di intendere la
figura (b) non e' su di un piano ma nello spazio; si deve
cioè pensare che il diagramma di figura risulti solo una
sezione verticale di quello strano cono che si otterrebbe
facendo ruotare di 180° sull'asse delle ordinate il
diagramma stesso di figura; quest'ultimo strano cono e' quello
che ci rappresenta meglio la probabilità y
modulo quadro di trovare l'elettrone nello
spazio circostante il nucleo ad una distanza R da esso.
Il confronto quantitativo
delle distanze tra le due figure in esame permette
una ulteriore considerazione: alla distanza di circa 0,5 Å dal
nucleo la probabilità di trovare l'elettrone è molto
piccola; ad una distanza maggiore, di circa 1,5 Å dal nucleo la
probabilità di trovare l'elettrone è nulla; ad una distanza
minore di 0,5 Å la probabilità aumenta sempre di più e
diventa grandissima, fino a raggiungere il suo valore massimo
nei pressi del nucleo stesso. Inoltre, i circa 0,5 Å
come distanza dal nucleo oltre la quale è difficile trovare
l'elettrone conferma quanto abbiamo fino ad ora detto e trovato
con i conti di Bohr: il raggio atomico è di circa 0,5
Å, cioè il diametro di un atomo è dell'ordine di
grandezza di 1 Å.
Ricordato che la
y non ha significato fisico, per comprendere quanto ci
siamo proposti, passiamo a mettere in relazione la figura (a)
con la figura (b), cominciando con il dare una spiegazione più
completa di una rappresentazione come quella data per
l'elettrone in figura (a). Abbiamo già parlato del suggestivo
modo di intendere la cosa in termini di nuvola di carica.
Vediamo ora di precisare meglio. Supponiamo di poter osservare l'elettrone
per un certo tempo nel suo movimento atomico, noi
vedremmo che l'elettrone passa la
maggior parte del suo tempo nelle posizioni più probabili e queste
posizioni sono quelle che in figura (a) sono rappresentate da
una più grande densità di puntini.Un altro modo di
pensare la cosa è il seguente: supponiamo di poter
fotografare un atomo con un solo elettrone tante volte in
istanti successivi; sovrapponendo le fotografie otterremmo la
situazione di figura (a).
La figura (b) è, invece,
una diretta esplicazione matematica di quanto ci
siamo affannati a dire per la figura (a).
A questo punto, prima di
proseguire, occorre introdurre il significato di
alcune costanti fondamentali che servono per una
migliore spiegazione della struttura atomica: i numeri quantici
(avevamo annunciato ciò svariate pagine fa).
I numeri quantici
I numeri quantici sono delle
costanti che caratterizzano gli elettroni negli
atomi. Sono un poco i numeri di targa di questi elettroni,
infatti, dati i numeri quantici di un elettrone siamo in grado
di dire di quale elettrone di un certo atomo si sta parlando.
Il primo di questi numeri si
indica con n ed è chiamato numero quantico
principale.
Il numero quantico principale
n è un numero intero e positivo che indica l'ordine dei livelli
energetici atomici. Dire per esempio che un certo
elettrone è caratterizzato da n=1 significa dire che questo
elettrone si trova sul primo livello energetico atomico (quello
più vicino al nucleo); dire che n=2 significa dire
che l'elettrone si trova sul secondo livello energetico atomico
(quello immediatamente successivo ad n=l).
In definitiva il valore di n
è 1 nel primo livello energetico atomico ed. aumenta
progressivamente di una unità nei
successivi. .
Poiché in teoria un
elettrone, se acquista una adeguata quantità di
energia, può occupare un livello energetico molto di stante
dal nucleo, i livelli energetici di un
elettrone in un atomo possono essere praticamente infiniti ed il valore di
n va da 1 all'infinito: n = 1,2,3,......
∞.
Si è trovato che negli atomi esistenti in natura, in normali
condizioni di temperatura e di pressione, si possono avere fino
a 7 livelli (o strati) energetici, per cui, quando un
atomo non è eccitato, quando cioè non ha acquistato in
alcun modo energia, il numero quantico principale va da 1 a 7.
Questi livelli (o strati) sono stati anche distinti,
a partire dal nucleo, con le lettere K, L, M, N, O,
P, Q. Ben presto pero si scoprì che elettroni appartenenti allo
stesso livello (o strato) energetico potevano possedere delle
quantità di energia leggermente diverse. Si dovette
cioè riconoscere che ciascun livello (o strato) energetico
poteva essere composto da più sottolivelli (o sottostrati) con
diversi valori di energia. Si introdusse allora il numero
quantico secondario che venne indicato, con la lettera l. Si
trovò poi che il valore di l, numero intero e
positivo, si manteneva sempre-inferiore ad n; fissato
cioè un certo elettrone, in un certo atomo, con, ad
esempio, un n = 3 (un elettrone che si trova cioè al terzo
livello energetico di quell'atomo), si è visto che l per quell'elettrone
può valere al massimo 2. In definitiva, per l, si hanno i valori
seguenti: l = 0, 1, 2, ..., n-1.
Per un atomo allo stato
fondamentale (non eccitato), possono aversi i casi di tabella 1
seguente:
| Livello
o strato |
Valore
di n |
Valori
di l |
Sottolivelli
o sottostrati |
| K |
1 |
0 |
Un solo sottolivello |
| L |
2 |
0, 1 |
Due sottolivelli |
| M |
3 |
0, 1, 2 |
Tre sottolivelli |
| N |
4 |
0, 1, 2, 3 |
Quattro sottolivelli |
| O |
5 |
0, 1, 2, 3 |
Quattro sottolivelli |
| P |
6 |
0, 1, 2, 3 |
Quattro sottolivelli |
| Q |
7 |
0, 1, 2, 3 |
Quattro sottolivelli |
I sottolivelli vengono di
solito indicati con le lettere s, p, d, f, come nella tavola 2
seguente:
| Numero quantico secondario |
0 |
1 |
2 |
3 |
| Simbolo del sottolivello |
s |
p |
d |
f |
Ulteriori ricerche, condotte
per lo più sul piano teorico, con l'ausilio della matematica,
hanno dimostrato che solo in alcuni casi si può
parlare di orbite sferiche. Precisamente gli
elettroni il cui numero quantico secondario è l=0, ossia gli
elettroni S, si trovano su un livello (o strato, o orbitale)
sferico;
quelli il cui numero quantico secondario è l=1, ossia gli elettroni del
sottolivello p, occupando orbite a forma di un 8 che ruota
sul suo asse maggiore:
(La forma degli orbitali p è più
precisamente di due ellissoidi di rotazione che si
toccano in un vertice). Gli elettroni d si
muovono su orbitali di forma più complicata così come quella su
cui si muovono gli elettroni f (vedremo più oltre la loro forma).
Quando l'orbitale non è
sferico esso può essere orientato diversamente nello spazio.
Nel caso degli elettroni p, ad
esempio, si possono avere le seguenti tre
orientazioni:
(i subindici indicano
lungo quale asse è orientato l'orbitale).
Occorrerà pertanto
considerare un terzo numero quantico, il quale,
contrariamente ai precedenti non ha influenza sull'energia
posseduta dall'elettrone (che resta definita da n ed l), e
rende conto invece della differenza di orientamento che abbiamo
or ora vista.
Questo terzo numero quantico
viene chiamato numero quantico magnetico e si
indica con la lettera m: esso può assumere tutti i
valori interi che vanno da -l ad l e cioè, m = 0, ±1,
±2, ... , ± l. Nella tabella 3 seguente sono riportati tutti i
possibili valori di m in corrispondenza di
determinati valori di l (si osservi che per ogni l vi sono 2.l +
1 valori possibili di m):
| Sottolivello |
Valore di l |
Valore di m |
| s |
0 |
0 |
| p |
1 |
-1, 0, +1 |
| d |
2 |
-2, -1, 0, +1, +2 |
| f |
3 |
-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 |
L'ultimo numero quantico che
caratterizza un elettrone è il numero quantico di
spin che si indica con ms (da alcuni risultati
sperimentali non in accordo con la teoria fino ad allora
formulata, i fisici olandesi Uhlenbeck e Goudsmit pensarono di
introdurre questa proprietà dell'elettrone considerandolo, in
definitiva, come un piccolo ago magnetico) .
Considerando l'elettrone come una sfera elettricamente
carica, esso, oltre a ruotare intorno al nucleo, ruota anche su
se stesso (intorno ad un suo asse). Questo movimento a trottola
(in inglese "spin") dell'elettrone può avvenire in due versi
opposti: quello orario e quello antiorario
Questo fatto fornisce due possibilità
per lo spin ms dell'elettrone: o esso è diretto in
un senso o in un senso opposto; se nel caso di
rotazione antioraria dell'elettrone su un suo asse lo
spin è diretto verso l'alto, allora nel caso di rotazione ora
ria su quello stesso asse lo spin è diretto verso il basso:
Si è trovato poi che lo spin può
assumere solo due valori, tra di loro oppos-ti, + 1/2
e - 1/2; a + 1/2 corrisponde lo spin diretto verso l'alto, a -
1/2 lo spin diretto verso il basso. [Si faccia
attenzione che nello scrivere "spin 1/2" si sottintende
che si ha a che fare con 1/2 di unità di spin, essendo l'unità
di spin uguale ad h/2p ,
essendo h la costante di Plank che abbiamo già
incontrato . A rigor di logica si dovrebbe scrivere quindi:
ms = -
1/2.(h/2p); ms = +
1/2.(h/2p)].
In definitiva, questo numero quantico
può assumere solo due valori che, in breve, sono i seguenti:
ms = -
1/2; ms = + 1/2
ed anch'essi non esprimono alcuna
variazione di livello energetico.
