Vari tipi di orbitali atomici

        Precisando meglio quanto abbiamo detto, studiamo un poco più dettagliatamente il significato delle scoperte di Schrödinger ed Heisenberg andando a vedere più da vicino la novità e le successive applicazioni del nuovo modo di trattare i fenomeni atomici.

       In base all'equazione di Schrödinger un elettrone in movimento può essere rappresentato da un'onda che possiamo da ora chiamare funzione d'onda ed indicare con la lettera greca y (si legga psi).

        Essendo y  la funzione d'onda ad essa sarà associato un elettrone.                                       .

        Noi non siamo però in grado di dire in quale punto dell'onda si trova quest'elettrone a causa del principio d'indeterminazione di Heisenberg. Siamo però in grado di dare la probabilità di trovare l'elettrone in un certo punto dell'onda  y (la quale onda, è meglio dirlo subito, non ha alcuna esistenza materiale, ma rappresenta solo un mezzo analitico per calcolare, appunto, la probabilità P di trovare l'elettrone in un certo punto dell'onda stessa).

        Siccome noi siamo certi che, ad esempio, un atomo d'idrogeno ha un' elettrone intorno al suo nucleo, la probabilità P di cui parlavamo ha un significato fisico ben preciso, corrisponde ad un qualcosa di reale, è un qualcosa di osservabile. D'altra parte una probabilità è una grandezza positiva compresa fra zero ed uno: il valore zero significa l'impossibilità, il valore uno la certezza di un determinato evento.

       La probabilità che un elettrone si trovi in un punto qualunque nello spazio che circonda un determinato nucleo deve essere uguale ad uno (cioè, come abbiamo detto sempre  positiva o al massimo nulla). Poiché lo stato di .un sistema fisico deve essere caratterizzato dalla sua funzione d'onda  y , anche la probabilità P dovrà potersi costruire mediante la y .

       Poiché P deve essere positiva o al massimo nulla, l'unico modo di renderla tale ed insieme per farla dipendere dalla y è definire (Max Born, come del resto abbiamo già detto):

(leggi: psi modulo quadro) infatti se y è una funzione reale tale è y  modulo quadro, risultando  > oppure = 0; se  y è una funzione complessa si ha:

(intendendo con y* il complesso coniugato di  y e ricordando che il prodotto tra un numero complesso ed il suo coniugato è un numero reale) e si ottiene che y modulo quadro è ancora una funzione reale sempre > oppure = 0.

        Vediamo qualche esempio di funzione y  (in nero) con la corrispondente y modulo quadro  (in rosso):

          Vediamo ora come questa funzione d'onda y e la probabilità y  modulo quadro di trovare un elettrone in un certo spazio sono legate con gli orbitali atomici. Ma prima di far questo ritengo necessaria una piccola digressione. E' doveroso avvertire che l'introduzione della y  e del suo modulo quadro  (probabilità) dette adito ad una serie di discussioni a volte drammatiche. Il culmine dello scontro si ebbe al Congresso Solvay del 1927.  Due fazioni si scontrarono: da una parte quelli che poi risultarono vincitori, Born, Heisenberg, Dirac, Pauli capitanati da Bohr (costoro vennero i» seguito indicati come appartenenti al la Scuola di Copenaghen); dall'altra, quelli che poi risultarono sconfitti, Planck, Einstein, Schrödinger, de Broglie. La tesi portata avanti dai seguaci di Bohr era essenzialmente la seguente: la teoria quantistica è una teoria completa e definitiva, le sue ipotesi fondamentali non sono discutibili; le leggi probabilistiche della fisica dei quanti sono un dato definitivo della realtà; non c'è possibilità di affidarsi ad alcun determinismo, la natura assume l'indeterminazione come un dato fondamentale e di principio; occorre rinunciare al concetto di causalità dei fenomeni atomici del tempo e dello spazio; si estrapola il principio di indeterminazione affermando che non solo non è possibile misurare contemporaneamente posizione e velocità di una particella, ma  addirittura che una particella non ha né posizione né velocità, con la conseguenza che, ancora una volta, la materia di nuovo sparisce e con questa posizione, legittima ed apparentemente innocua, si dà fiato a tutta la vecchia posizione antimaterialista che, appena qualche anno dopo, vedrà Heisenberg, lo scienziato nazista, affermare che l'atomo non è altro che un sistema di equazioni differenziali e che, naturalmente, la materia non esiste. Ma, a prescindere dalla posizione radicale di Heisenberg rimane il fatto che la posizione filosofica dei vincitori, che si può semplicemente definire neopositivista, è ancora quella che oggi governa i nostri istituti di ricerca. Porsi dei problemi, cercare di capire, fa perdere tempo e non ci aiuta sulla strada del consumismo scientifico e dell'efficientismo. Contro tutto questo si battevano gli sconfitti, e non solo a  parole ma anche con tutta usa serie di teoremi, dimostrazioni e paradossi. Secondo questi ultimi la fisica dei quanti è certamente una conquista importante ma deve essere intesa come provvisoria: diamo tempo alla ricerca e molte cose potranno essere intese in un modo differente. E poi, entrando in un minimo di dettaglio, non è affatto vero che la fisica dei quanti offre una descrizione completa. Molte variabili le sfuggono, sono le variabili che sono state definite nascoste. Vi è una enorme bibliografia in proposito, per parte mia tengo solo a dire che io descrivo gli sviluppi della fisica dei quanti così come si sono susseguiti; in nessun modo sento di condividere l'impostazione filosofica dei vincitori del Congresso Solvay.

          Ritornando ora a quanto lasciato, cominciamo con il dire che la funzione d'onda y  è anche definita orbitale atomico di un elettrone in un atomo. C'è un altro modo però di intendere la y  . E' certamente un modo che soddisfa di più la nostra abitudine a crearci modelli meccanici della realtà  fisica che non il rigore dell'esatta interpretazione. Dobbiamo supporre di avere, anziché il vecchio punto materiale che ci descrive l'elettrone in moto con tutta la sua carica concentrata, una nuvola di carica, cioè l'elettrone diffuso in un certo volume di spazio. Questa nuvola di carica non avrà densità uniforme ma, in ogni punto, la sua densità sarà proporzionale a y modulo quadro . Dove la y  modulo quadro assume un grande valore, lì si avrà una densità maggiore per la nuvola, e lì si troverà concentrata la gran parte della carica negativa propria dell'elettrone. La differenza essenziale tra questo modo di vedere le cose e quello precedente è che, invece di parlare di densità di probabilità, si parla di densità materiale di particella.

        Ritornando alla rappresentazione dell'elettrone mediante la funzione d'onda va detto che la y  di un elettrone in un atomo non ha confini definiti ma si estende a distanze molto grandi (relativamente alle dimensioni atomiche) dal nucleo. Questo fatto vuol dire che è possibile anche trovare l'elettrone molto distante dal nucleo. Ma se tale distanza supera i 2 ÷ 3 Å, la probabilità di trovare l'elettrone è molto piccola e poco significativa.

        Si può quindi dire che per ogni funzione d'onda y  vi è un certo contorno, detto superficie limite, entro il quale si ha una probabilità ben definita (dal 90 al 99 %) di trovare l'elettrone.

         Le cose che abbiamo dette sono ancora abbastanza vaghe.

          Per renderle più concrete, per visualizzarle insomma, cerchiamo di vedere come si può disegnare una funzione d'onda di un elettro ne in un atomo, come si può disegnare cioè un orbitale atomico.

          La rappresentazione grafica della funzione d'onda (cioè di un orbitale atomico) di un elettrone in un atomo si può realizzare in uno dei seguenti modi:

          1) Si può disegnare la nuvola di carica (vedi fig. c)

          2) Si può tracciare la superficie limite dell'elettrone nello stato stazionario permesso rappresentato dalla funzione d'onda y (vedi fig. d)

          3) Si possono calcolare le curve in cui y modulo quadro è costante e tracciarle (vedi fig. b).

          4) Si possono tracciare i grafici di y o  di y  modulo quadro in funzione della distanza r dal nucleo (vedi fig. a).

          Vediamo una esemplificazione di quanto detto limitandoci ai casi (a) e (c) di figura, poiché sono quelli che useremo spesso in seguito.

          Consideriamo un elettrone, intorno ad un nucleo (ad esempio di idrogeno), nel più basso livello energetico. In base alla rappresentazione mediante la nuvola di carica (e come vedremo meglio nelle pagine seguenti) l'elettrone può essere disegnato con la sua nuvola di probabilità circondante il nucleo :

          La y e la y modulo quadro sono legate a questa rappresentazione in un modo molto semplice che è reso ben evidente dalla figura seguente:

          Osserviamo innanzitutto che la figura è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate che passa per il nucleo atomico; in pratica essa è simile ai grafici di  y e di y modulo quadro con in più le sue speculari rispetto all'asse delle ordinate. La figura rappresenta la probabilità  y modulo quadro ( di trovare l'elettrone ad una data distanza R dal nucleo. Poiché l'elettrone nell'atomo si trova, non su di un piano, ma nello spazio circostante il nucleo, quest'ultimo è stato preso come origine delle coordinate; e proprio per la simmetria dell'intero sistema non ha senso considerare distanze R negative a partire dal nucleo e quindi,  in figura,  non vi è un verso negativo per l'asse delle ascisse ma solo versi positivi  a partire dal nucleo.  Quest'ultima considerazione fa subito capire che il modo più corretto di intendere la figura  (b) non e' su di un piano ma nello spazio;  si deve cioè  pensare che il diagramma di figura risulti solo una sezione verticale di quello strano cono che si otterrebbe facendo ruotare di 180° sull'asse delle ordinate il diagramma stesso di figura;  quest'ultimo strano cono e' quello che ci rappresenta  meglio la probabilità y modulo quadro  di trovare l'elettrone nello spazio circostante il nucleo ad una distanza R da esso.

         Il confronto quantitativo delle distanze tra le due figure in esame permette una ulteriore considerazione: alla distanza di circa 0,5 Å dal nucleo la probabilità di trovare l'elettrone è molto piccola; ad una distanza maggiore, di circa 1,5  Å dal nucleo la probabilità di trovare  l'elettrone è  nulla; ad una distanza minore di  0,5 Å la probabilità  aumenta sempre di  più  e diventa grandissima, fino a raggiungere il suo valore massimo nei pressi del nucleo stesso. Inoltre, i circa 0,5 Å come distanza dal nucleo oltre la quale è difficile trovare l'elettrone conferma quanto abbiamo fino ad ora detto e trovato con i conti di Bohr: il raggio atomico è di circa 0,5 Å, cioè il diametro di un atomo è dell'ordine di grandezza di 1 Å.

         Ricordato che la y  non ha significato fisico, per comprendere quanto ci siamo proposti,  passiamo a mettere in relazione la figura  (a) con la figura  (b),  cominciando con il dare una spiegazione più completa di una rappresentazione come quella data per l'elettrone in figura (a). Abbiamo già parlato del suggestivo modo di intendere la cosa in termini di nuvola di carica. Vediamo ora di precisare meglio. Supponiamo di poter osservare l'elettrone per un certo tempo nel suo movimento atomico,  noi vedremmo che l'elettrone passa la maggior parte del suo tempo nelle posizioni più probabili e queste posizioni sono quelle che in figura (a) sono rappresentate da una più  grande densità di puntini.Un altro modo di  pensare  la cosa è  il  seguente:  supponiamo di  poter fotografare un atomo con un solo elettrone tante volte in istanti successivi; sovrapponendo le fotografie otterremmo la situazione di figura (a).

         La figura  (b) è, invece, una diretta esplicazione matematica di quanto ci  siamo  affannati a dire per  la figura (a).

        A questo punto, prima di proseguire, occorre introdurre il significato di alcune costanti fondamentali che servono per una migliore spiegazione della struttura atomica: i numeri quantici (avevamo annunciato ciò svariate pagine fa).

I numeri quantici

        I numeri quantici sono delle costanti che caratterizzano gli elettroni negli atomi. Sono un poco i numeri di targa di questi elettroni, infatti, dati i numeri quantici di un elettrone siamo in grado di dire di quale elettrone di un certo atomo si sta parlando.

       Il primo di questi numeri si indica con  n  ed è chiamato numero quantico principale.

       Il numero quantico principale  n è un numero intero e positivo che indica l'ordine dei livelli energetici atomici. Dire per esempio che un certo elettrone è caratterizzato da n=1 significa dire che questo elettrone si trova sul primo livello energetico atomico (quello più vicino al nucleo); dire che n=2 significa dire che l'elettrone si trova sul secondo livello energetico atomico (quello immediatamente successivo ad n=l).

        In definitiva il valore di n è 1 nel primo livello energetico atomico ed. aumenta progressivamente di una unità nei successivi.                                         .

        Poiché in teoria un elettrone, se acquista una adeguata quantità di energia, può occupare un livello energetico molto di stante dal nucleo, i livelli energetici di un elettrone in un atomo possono essere praticamente infiniti ed il valore di n va da 1 all'infinito: n = 1,2,3,...... ∞. Si è trovato che negli atomi esistenti in natura, in normali condizioni di temperatura e di pressione, si possono avere fino a 7 livelli (o strati) energetici, per cui, quando un atomo non è eccitato, quando cioè non ha acquistato in alcun modo energia, il numero quantico principale va da 1 a 7. Questi livelli (o strati) sono stati anche distinti, a partire dal nucleo, con le lettere K, L, M, N, O, P, Q. Ben presto pero si scoprì che elettroni appartenenti allo stesso livello (o strato) energetico potevano possedere delle quantità di energia leggermente diverse. Si dovette cioè riconoscere che ciascun livello (o strato) energetico poteva essere composto da più sottolivelli (o sottostrati) con diversi valori di energia. Si introdusse allora il numero quantico secondario che venne indicato, con la lettera l. Si trovò poi che il valore di l, numero intero e positivo, si manteneva sempre-inferiore ad n; fissato cioè un certo elettrone, in un certo atomo, con, ad esempio, un n  =  3 (un elettrone che si trova cioè al terzo livello energetico di quell'atomo), si è visto che l per quell'elettrone può valere al massimo 2. In definitiva, per l, si hanno i valori seguenti:   l  =  0, 1, 2, ..., n-1.